組み合わせ通りがカタラン数になる正$(n+2)$「多角形の三角形分割」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%88%86%E5%89%B2 も丁度$n$領域に分割される事の方が、中心二項係数インデックスの構成 に役立つかも。細矢治夫先生の『新装版トポロジカルインデックス』 に何らかのヒントがあった気がしたけど、くれちゃった気がするので 中央図書館まで見に行かなくちゃ知らんけど。今度こそ4月から数セミ略
これが重要なのは、トポロジー的に（無限遠方領域を回避するコースを$(n+1)$通り選べる）「（特定領域における$2n$端点の）外側で交差なし$n$握手」の方は、単純に$2n$点から$n$点選んだ瞬間に一意に構成可能という事実（むしろ先方は https://twitter.com/i/events/1449763734927273988 さんの証明らしい、選んだ$n$点には左から到達・選ばれない$n$点には右から到達するコースだと仮定して、対応する対面を先に結ぶとかナントカ?おっしゃってたタイムシフトも見直さないけど）ということと、内側では$(n+1)$意は同じ構成だけど別に外側の選び方は関係なく独立して決めて良いので、結局特定領域における$2n$端点の情報からありうる等高線（等圧線）の 全てのパターン数は \[\left({ 2n \choose n } \times { 2n \choose n }\right) / (n+1)\] 通り構成可能（※ただし他の穴は無いとした時）以上。ということが私の専門の菱形タイリング多角形百科にも生きてくるかはまだ不明ですが、一ヶ月後にまた先方の追加情報を見直したい #備忘録
先方へのDMはこの添付図で説明したpng_medium。 今週中に数学デーやパズル懇話会で深まるかもだけど、 あえて私は参加しないので一足先に当垢から供養。 結局は交差なし$n$握手に対して内側から \(\frac{ 2n \choose n }{n+1}\) \( \times (n+1) = { 2n \choose n }\)＝（外側で交差なし$n$握手 の全パターン数）という非常に美しい公式を順を追って証明すれば、 特定領域における$2n$端点の情報からありうる等高線（等圧線）の 全て（とはいえ他の領域にいくらでも”穴”は作れるが）を数え上げ する素晴らしい図示公式が発見された日曜日。ハッピーバレンタイン 2023!
